Nonlocal diffusion problems

Resumen

This thesis studies the existence, uniqueness, comparison results and asymptotic behaviour of the solutions of some nonlocal di¬ffusion problems. All the problems in this thesis are set in metric measure spaces, which are introduced in Chapter 1. These spaces include very different type of spaces, for example, open subsets in R^N, graphs, manifolds, multistructures or some fractal sets. In Chapter 2, we study basic properties of the nonlocal diffusion ope¬rador which will be used in the following chapters. In particular, we study regularity, compactness, positiveness and the spectrum of the operator. In Chapter 3, we study the solutions of the linear nonlocal diffusion problems. In particular we describe the asymptotic beha¬viour using spectral methods. In Chapter 4, we study the nonlinear nonlocal diffusion problem with a local reaction. In particular, we prove weak and strong maximum principles and the existence of two extremal equilibria, which attract the asymptotic dynamics of the solutions. We also show how the lack of smoothing prevent us from proving the existence of a global attractor. In Chapter 5, we consider a nonlinear term that is a nonlinear function of the ave¬rage of the solution in a ball. In this case we prove that there are strong restrictions for the weak and strong maximum principles to hold. When these hold, we prove the existence of a global attrac¬tor. In Chapter 6, we study sign-changing solutions of the nonlocal two-phase Stefan problem.Esta tesis estudia la existencia, unicidad, resultados de comparación y comportamiento asintótico de las soluciones de algunos problemas de difusión no local. Todos los problemas en esta tesis están considerados en espacios métricos de medida, que son introducidos en el Capítulo 1. Estos espacios incluyen muchos tipos diferentes de espacios, por ejemplo conjuntos abiertos en R^N, grafos, variedades, multiestructuras o algunos conjuntos fractales. En el Capítulo 2, estudiamos propiedades básicas de operadores de difusión no local que se utilizarán en los siguientes capítulos. En particular, estudiamos la regularidad, compacidad, positividad y el espectro del operador. En el Capítulo 3, estudiamos las soluciones de los problemas lineales de difusión no local. En particular, describimos el comportamiento asintótico usando métodos espectrales. En el Capítulo 4, estudiamos los problemas no lineales de difusión no local con reacción local. En particular probamos principios débil y fuerte del máximo y la existencia de dos equilibrios maximales, que atraen la dinámica asintótica de las soluciones. También mostramos la falta de regularización lo que no nos permite probar la existencia de un atractor global. En el Capítulo 5, consideramos un término no lineal que es una función no lineal del promedio de la solución en una bola. En este caso probamos que existen restricciones fuertes para que se cumplan los principios débil y fuerte del máximo. Cuando éstas se cumplen, probamos la existencia de un atractor global. En el Capítulo 6, estudiamos soluciones que cambian de signo del problema no local de Stefan de dos fases.