Construcción de polígonos hiperbólicos y aplicación a las regiones fundamentales de grupos cristalográficos no euclídeos

Resumen

En esta memoria se estudia la geometría de los polígonos hiperbólicos con un número cualquiera de lados, En la literatura sobre el tema, aparecen fórmulas explícitas para polígonos de ángulos rectos y, en ciertas condiciones, para otros polígonos con un número bajo de lados. Aquí se aborda el problema en general: dada una colección de ángulos, qué condiciones deben cumplir las longitudes de los lados para que un polígono con esos ángulos, exista de hecho y sea convexo. También se hallan diversas fórmulas explícitas que permiten calcular distancias entre dos lados cualesquiera del polígono, entre un lado y un vértice no perteneciente a él y entre dos vértices cualesquiera, lo que permite establecer relaciones independientes entre los elementos de un polígono hiperbólico cualquiera. Además, mediante las expresiones matriciales obtenidas de los vértices y de los vectores normales a los lados, se hace posible la construcción y representación del polígono. Los resultados anteriores se aplican al estudio de regiones fundamentales de los grupos cristalográficos no Euclídeos (grupos NEC) dando procedimientos para la construcción de regiones de grupos NEC de superficies planares, es decir cuando el género topológico es 0, y para una parametrización del espacio de Teichmüller en cada caso, resolviendo y representando ejemplos explícitos y obteniéndose los generados del grupo en algunos de los ejemplos resueltos. El enfoque para obtener estas condiciones geométricas es algebraico. Para ello se trabaja en los modelos Sl2(C) y Sl2( R), que son los subconjuntos de matrices 2x2 complejas (respectivamente, reales) de traza cero. Además al trabajar con matrices, las fórmulas permiten una manipulación más sencilla y son más adecuadas para cálculos con ordenador. La Memoria se divide en cuatro capítulos y un Apéndice. En el Apéndice se incluyen diversas hojas de trabajo (worksheet) realizadas con MAPLE, que permiten a