Cuestiones geométricas y variacionales en fibrados

Resumen

En este trabajo se estudian los fibrados, entre ellos los fibrados principales, definimos las conexiones de Ehresmann y las conexiones de Cartan. En las primeras se buscan clases características utilizando el álgebra gauge del fibrado. En las geometrías de Cartan, se estudian qué similitudes hay con las conexiones de Ehresmann. Después se definen las conexiones de Yang-Mills y de Yang-Mills-Higgs. Utilizando esas conexiones se encuentran formas cerradas en el fibrado que proyectan en formas cerradas en la variedad base, Se estudia también, qué relación existe, en determinadas circunstancias, entre las geometrías de Cartan y las conexiones de Ehresmann y la relación existente entre sus grupos y álgebras de holonomía. Debido a este estudio se describen las conexiones de Ehresmann que son reducibles a un subfibrado. Se estudian los campos de Higgs, que son la base geométrica de lo que los físicos llaman rotura espontánea de la simetría, cuyo sustrato es la reducción de un fibrado principal. Se caracterizan las reducciones del espacio total a un subgrupo de Lie con una función automorfa que llamaremos campos de Higgs. Se obtiene la condición sobre el campo de Higgs para que la forma de conexión del fibrado principal reduzca a la reducción del fibrado. Se utilizan los fibrados vectoriales, especialmente el fibrado cotangente, para estudiar el problema de Hamilton-Jacobi de la mecánica analítica. En concreto, se aborda el estudio de sistemas de ecuaciones de Hamilton-Jacobi involutivos como generadores de subvariedades coisótropas en el fibrado cotangente. Así, se estudia la reducción y reconstrucción de un sistema de Hamilton-Jacobi. También se utiliza el fibrado de 1-jets para estudiar el problema variacional con una densidad lagrangiana y se encuentran nuevas leyes de conservación utilizando las simetrías infinitesimales de la forma de Poincaré-Cartan.