Estabilidad y regularidad en optimización lineal y convexa

Resumen

Esta memoria se centra en un estudio cuantitativo de los problemas de programación semi-infinita lineal y convexa, En el primer capítulo se considera el espacio paramétrico de todos los sistemas de restricciones lineales, en el espacio euclídeo n-dimensional, con (posiblemente) infinitas restricciones dadas en forma de desigualdad, y una cantidad finita de igualdades. Se analiza entonces la estabilidad del sistema original, nominal, respecto a la consistencia (esto es, la existencia de alguna solución), en términos de si perturbaciones arbitrarias de todos los coeficientes (i.e., caso general) dan lugar a sistemas próximos que conservan o no tal propiedad. Finalmente, se obtiene una fórmula para la distancia al mal planteamiento (esto es, a la frontera del conjunto de los sistemas consistentes), en términos sólo de los datos del problema nominal, trasladándose el cálculo de una distancia en un espacio de dimensión infinita a una distancia en el espacio euclídeo, con claro sentido geométrico. El resto de la memoria se ocupa de la propiedad de Aubin de las multifunciones conjunto factible y conjunto óptimo asociadas al problema de optimización, equivalente a la propiedad de regularidad métrica de sus multifunciones inversas. En concreto, se obtienen fórmulas operativas del módulo de regularidad métrica de éstas, en distintos contextos, en términos exclusivamente de los datos nominales. Primeramente, se determina la expresión del módulo, para el conjunto factible, referida a sistemas lineales como los descritos anteriormente, y sujetos a las perturbaciones arbitrarias mencionadas (y como aplicación, se analiza el módulo de un sistema semi-infinito asociado al dual Lagrangiano de un problema de programación no lineal). Posteriormente, se obtiene la expresión exacta de dicho módulo en el contexto de los sistemas semi-infinitos sólo con restricciones de desigualdades convexas, admitiendo perturbaciones afines de éstas, y asumiendo ciertas condiciones técnicas (destacándose que estas se tienen siempre en el caso continuo, en el cual las funciones que asignan los vectores de coeficientes -perturbaciones- son continuas, y el conjunto de índices es compacto Hausdorff). Se introduce en este análisis una nueva metodología basada en relacionar los módulos de una familia general de multifunciones entre espacios métricos (extendidos) y el de su multifunción intersección, definiéndose para ello los conceptos de equirregularidad y regularidad lineal. Finalmente, se aborda el cálculo del módulo para el conjunto óptimo en problemas lineales, bajo perturbaciones de la función objetivo y de los términos independientes, en el caso continuo, aportándose una cota inferior general, la cual, de hecho, proporciona el valor exacto en Programación Lineal ordinaria, en el caso n menor que 4, o bien bajo cierta hipótesis que se presenta.