Top-down and Bottom-up Approaches to Discrete Diffusion Models

Resumen

Esta tesis doctoral discute la formulación de modelos discretos para la difusión de partículas Brownianas. Describiremos la evolución de un conjunto discreto de variables dado por el número de partículas Brownianas por unidad de volumen alrededor de una región. La concentración discreta se define en términos de un conjunto de funciones base localizadas alrededor de los nodos de una determinada malla. Estas funciones locales describen cómo las partículas Brownianas contribuyen a cada nodo. La ecuación de evolución para el campo de concentración discreto toma la forma de una ecuación diferencial estocástica (SDE). Uno de los propósitos de esta tesis es el estudio del límite continuo de esta ecuación. Se seguirán dos procedimientos para obtener la ecuación diferencial estocástica. El primero de ellos comienza con una descripción microscópica en términos de las posiciones y las velocidades de todas las partículas que constituyen la suspensión coloidal. Utilizando la Teoría del Coarse-Graining (ToCG) obtendremos la ecuación que gobierna la evolución del campo discreto de concentraciones. A este procedimiento lo llamaremos el acercamiento abajo-arriba. El segundo procedimiento comienza con una ecuación de difusión en el espacio continuo que discretizaremos mediante técnicas de análisis numérico. Lo llamaremos acercamiento arriba-abajo. Interesante y afortunadamente, ambos acercamientos convergen a la misma dinámica determinista para la concentración discreta bajo ciertas aproximaciones. También estudiaremos dos posibilidades para el conjunto de funciones base que serán usadas para definir las variables de concentración discreta. En ambos casos las funciones base se definen en términos de la triangulación de Delaunay. El primero de los conjuntos de funciones base está dado directamente por un elemento finito convencional (como, por ejemplo, una pirámide con soporte en la red triangular para el caso bidimensional). Este conjunto base es válido para redes regulares. El segundo conjunto, denominado de elementos finitos conjugados, está dado por una combinación lineal de los elementos finitos de Delaunay. En contraposición al conjunto formado por elementos finitos, mostraremos como este segundo conjunto de funciones base es superior en redes irregulares y tiene un orden de convergencia 2. La ecuación diferencial estocástica para las variables de concentración discreta nos permite discutir cómo introducir fluctuaciones térmicas en una Ecuación en Derivadas Parciales (PDE), de las que la ecuación de difusión es un ejemplo paradigmático. En el límite continuo, estas ecuaciones diferenciales estocásticas deben ser equivalentes a una Ecuación Estocástica en Derivadas Parciales (SPDE). Mostraremos que para los modelos considerados en esta tesis doctoral, todos ellos en una dimensión, el límite continuo existe. En general, para D > 1, el límite continuo de los modelos considerados no existe. El punto de vista de la teoría del Coarse-Graining en esta tesis doctoral arroja algo de luz sobre este problema y aporta una respuesta física naíf: los modelos que habitualmente se usan limitan el tamaño de las celdas discretas debido a las condiciones físicas del problema y, por tanto, la existencia de un límite continuo para estos modelos no debe preocuparnos cuando consideramos fluctuaciones térmicas.