Solving Differential Equations with Evolutionary Algorithms

Laburpena

Una gran cantidad de leyes fundamentales de Física y Química se formulan mediante ecuaciones diferenciales (EDs), las cuales son además útiles a la hora de modelizar diferentes problemas en disciplinas tales como Biología, Economía o Ingeniería. Algunas EDs admiten soluciones cerradas o exactas. Sin embargo, la gran mayoría sólo pueden resolverse de forma aproximada. Existen en la literatura gran cantidad de métodos para encontrar dichas aproximaciones. Los más extendidos son los denominados métodos numéricos. En la presente tesis nos centraremos en otro tipo de métodos no estándar, llamados por algunos autores métodos heurísticos. En este trabajo se expone un estudio de las algoritmos heurísticos presentes en la literatura para resolver EDs. En este tipo de métodos, el problema original (resolver una ED) se transforma en un nuevo problema de optimización. El nuevo problema conlleva encontrar una función, solución de la ED, que minimiza una función de coste construida con las condiciones de contorno y con la propia ED. Para resolver el nuevo problema, las soluciones candidatas se pueden expresar mediante una base funcional, kernels paramétricos o mediante expresiones matemáticas genéricas. La búsqueda de la solución óptima al problema se realiza mediante algoritmos evolutivos. Las principales contribuciones de la presente tesis se pueden agrupar en dos ideas básicas. Por un lado, se realizan varios estudios para determinar el modo óptimo de representar las soluciones candidatas. Por otro lado, se expone cuál es el algoritmo evolutivo más eficiente para ajustar los parámetros que expresan la solución. Los algoritmos expuestos tratan de ser además genéricos: son capaces de resolver, manteniendo los parámetros de control, una gran variedad de EDs, tales como ecuaciones ordinarias (lineales y no lineales), ecuaciones en derivadas parciales y sistemas de ecuaciones. Para estudiar el comportamiento de los algoritmos propuestos, se han aplicado a un conjunto de 32 EDs extraídas de la literatura. También se presenta una comparación con otros métodos heurísticos y numéricos. Se observa un buen comportamiento de los algoritmos propuestos, las EDs se han resuelto correctamente alcanzando resultados competitivos con menor coste computacional comparado con otros métodos heurísticos. Los métodos numéricos son eficientes, maduros y capaces de resolver la mayoría de los problemas reales. Sin embargo, en cuanto el problema de resolver una ecuación diferencial se transforma en un problema de optimización, los métodos propuestos cuentan con propiedades interesantes (métodos no basados en malla, solución simbólica, mismos algoritmos para diferentes familias de ecuaciones, etc) que pueden resultar útiles en este campo de conocimiento. Por otro lado y desde un punto de vista general, las principales desventajas de los métodos evolutivos son que el nivel de convergencia no está garantizado y el mayor coste computacional por usar una estrategia poblacional.