Mecánica estadística de fluidos fuera del equilibrio en la mesoescala

Resumen

Esta Tesis versa sobre el estudio teórico de fluidos clásicos inhomogéneos en la mesoescala en situaciones fuera del equilibrio. Por mesoescala entendemos en esta Tesis, dependiendo del contexto, tanto escalas del orden de nanómetros (nanoescala) como del orden de micrómetros (microescala). Desarrollaremos para cada nivel de descripción, tanto una visión estática a través de las propiedades termodinámicas y de estructura del fluido, como una visión dinámica, al obtener las ecuaciones que determinan la evolución de las variables relevantes. El objetivo principal de esta Tesis es obtener descripciones dinámicas de fluidos en la mesoescala a partir de la dinámica microscópica del sistema de modo que en dicho proceso podamos mantener información sobre los aspectos particulados del fluido. Un referente crucial para este desarrollo es la teoría del funcional de la densidad (Density Functional Theory, DFT en inglés). Esta teoría desarrollada en la década de los 60, permite obtener las propiedades termodinámicas y las correlaciones de un fluido inhomogéneo a partir de la descripción microscópica del sistema. Pero a pesar de su éxito esta teoría tiene, sin embargo, dos limitaciones: es una teoría con una única variable relevante, la densidad del fluido y es una teoría del estado de equilibrio. Dicho de otra manera, es una teoría isoterma, que no permite describir sistemas donde el momento, y en especial la energía, varíen en el espacio. Un objetivo de la presente Tesis es la generalización de la DFT a situaciones dinámicas para estudiar hidrodinámica en la nanoescala. Para ello seguimos dos líneas de trabajo En una primera parte, generalizamos la DFT incluyendo, además de la densidad de masa, la densidad de energía. En este caso obtenemos un funcional de entropía que nos permite desarrollar modelos equivalentes a los de la DFT, pero que incluyen un campo (inverso) de temperatura que varía espacialmente. Hemos bautizado esta nueva teoría como Termodinámica Funcional porque requiere, al igual que la DFT, un uso generalizado de técnicas funcionales, al tiempo que generaliza la Termodinámica usual a nivel local. Finalmente expondremos el caso más general, que denominamos Hidrodinámica Funcional, en el que las variables hidrodinámicas relevantes son las densidades de masa, momento y energía, estableceremos una conexión de dicho nivel con los precedentes y obtendremos las ecuaciones dinámicas, que aunque tienen la misma forma que las ecuaciones de Navier-Stokes, describen correctamente la estructura molecular del fluido. Una segunda línea de trabajo es la teoría del funcional de Boltzmann. La idea es generalizar la ecuación de Boltzmann, válida para situaciones diluidas, a situaciones en las que la estructura molecular es importante. Obtenemos una fundamentación teórica de la ecuación de Boltzmann que nos permite extenderla a situaciones no diluidas. Este resultado, a pesar de ser también isotermo como la DFT, incluye el momento de las partículas como variable relevante, a través de la función distribución y da lugar a una descripción hidrodinámica que retiene la estructura del fluido. Por otra parte, para describir fluidos en la microescala en la que las fluctuaciones térmicas son importantes, formulamos una teoría hidrodinámica discreta a partir de la dinámica microscópica del sistema. Hay que notar que la teoría de Landau-Lifschitz para la hidrodinámica fluctuante está formulada en términos de ecuaciones diferenciales parciales estocásticas no-lineales, cuyo significado matemático ha sido cuestionado. En lugar de discretizar estas ecuaciones en una malla, queremos arrojar luz al problema partiendo directamente de las ecuaciones de Hamilton y derivando las ecuaciones de movimiento para la masa, momento y energía de ``porciones'' de fluido definidas en términos de celdas de una teselación del espacio.