Control de fluctuaciones en sistemas dinámicos discretosaplicaciones a dinámica de poblaciones

Resumen

Los sistemas dinámicos discretos se utilizan para modelar fenómenos en casi todos los campos científicos. En muchas ocasiones estos modelos presentan dinámicas caóticas. El objetivo de esta tesis doctoral es el estudio analítico y numérico de algunos métodos de control de caos para sistemas dinámicos discretos que actúan directamente sobre la variable de estado. Para ilustrar los resultados se consideran modelos discretos de dinámica de poblaciones, que describen la evolución temporal del número de individuos de una especie o grupo de especies en una región determinada. Además del interés puramente teórico-matemático, estos modelos son importantes desde el punto de vista práctico puesto que se utilizan para tomar decisiones de tipo económico o de conservación medioambiental. Los resultados de esta memoria están agrupados atendiendo a la dimensión del sistema dinámico. Así, se recogen en una parte los resultados relativos a sistemas unidimensionales y en otra los relativos a sistemas de dimensión dos. En ambos casos se extienden y complementan resultados sobre métodos de control de caos propuestos por otros autores. Y en el caso unidimensional se propone y estudia una nueva estrategia de control de caos. En el primer capítulo sobre modelos unidimensionales se analiza el método proportional feedback (PF), que consiste en multiplicar la variable de estado por una constante positiva cada cierto número de iteraciones. En él se mejoran y complementan resultados relativos al método PF en las siguientes tres direcciones principales: (1) se define una clase más amplia de funciones para las que se puede garantizar a priori el éxito del método PF en la estabilización de un equilibrio positivo; (2) se relajan las condiciones para garantizar la estabilidad asintótica global del equilibrio positivo; (3) se demuestra que el método PF se puede emplear en algunos casos para transformar el origen de atractor a repulsor, lo que en el caso de dinámica de poblaciones se traduce en que el método PF permite evitar la extinción de especies provocada por et efecto Allee. También en la parte de la memoria dedicada a los sistemas unidimensionales se estudia un nuevo método de control que hemos denominado método de control no lineal (CN). Se muestra que el método CN tiene varias propiedades deseables para una técnica de control y similares a las de la estrategia conocida como target oriented control (TOC). CN, al contrario que TOC, realiza una transformación no lineal en la variable de estado, algo que complica mucho el estudio de la estabílidad global. Por este motivo, el análisis de las propiedades de estabilización global del método CN lo realizaremos únicamente para el caso particular, aunque muy relevante, de la función de Ricker. En la parte dedicada a los sistemas dinámicos de dimensión mayor que uno estudiamos un tipo particular de sistemas que se forma acoplando dos sistemas unidimensionales. Este acoplamiento, para el caso concreto de modelos de dinámica de poblaciones, permite simular el papel que juega la migración si la dinámica de la población se produce en varias subregiones (también denominadas celdas o parcelas) conectadas a través de procesos de migración. En varios artículos se proponen y estudian modelos de evolución de una población distribuida de forma discreta en parcelas o celdas interconectadas, frecuentemente llamadas metapoblaciones. Estos modelos pueden ser relativamente sencillos, como por ejemplo dos celdas conectadas de forma unidireccional o bidireccional, pero muy prácticos para poder entender el papel que juega la conexión de las celdas para la estabilidad del sistema. Otros modelos algo más complicados permiten modelizar, por ejemplo, el hábitat de la orilla de un lago suponiendo celdas conectadas en serie con condiciones de frontera periódicas. En cualquier caso, estos sistemas tienen en común la siguiente idea: modelan la evolución de la población mediante una fase de reproducción gracias a un sistema de ecuaciones en diferencias y una fase de dispersión definida por una ley de reparto entre las celdas del sistema. Estos sistemas pueden presentar grandes fluctuaciones que afectan a dos propiedades críticas para la población como son su constancia y su persistencia; además en estos sistemas puede presentarse multiestabilidad, es decir, el tamaño de la población tras un transitorio inicial puede tender a atractores diferentes dependiendo de las condiciones iniciales. Esta parte de la memoria cuenta con un capítulo en el que se consideran sistemas bidimensionales. En él, se estudia el papel de la propia conexión como método de control para el sistema. Desde el punto de vista de la dinámica de poblaciones este estudio resulta muy interesante porque facilitar u obstaculizar el movimiento de individuos a través de diferentes regiones ha sido utilizado como una herramienta de control del medio ambiente (corredores ecológicos, barreras de dispersión, etc.). Por lo tanto, para diseñar y gestionar estas estrategias, es necesario entender qué consecuencias pueden aparecer por la modificación de la migración entre regiones. Con el objetivo de comprender la influencia de la migración como método de control en este capítulo realizamos estudios numéricos sobre el comportamiento de: (1) el tamaño total medio de la población ante distintos escenarios de dinámica local y del tipo de conexión entre regiones (unidireccional o bidireccionaO; (2) la estabilidad en el sentido de la constancia y de la persistencia. Los resultados obtenidos en esta segunda parte muestran que la migración es capaz de mejorar la constancia y la persistencia solamente en ciertas situaciones. Adicionalmente, se confirma que la multiestabilidad afecta al comportamiento del tamaño medio de la población y su rango de fluctuación. Lo que lleva a afirmar que solamente un profundo conocimiento de ta dinámica local en cada una de las subregiones que ocupa la población permitiría utilizar una modificación de la tasa de migración natural para controlar la estabilidad y el tamaño de la población.