Analisis de distribuciones de carga espacial emitidas por atomización electrohidrodinámica (electrospray) en vacío

Résumé

El método de atomización electrohidrodinámica consiste en la emisión de un spray de gotas submicrométricas cargadas eléctricamente (o electrospray), el cual se genera al aplicar un campo eléctrico con una intensidad superior a un valor crítico sobre la superficie libre de un líquido con una cierta conductividad, situado en la boca de un tubo capilar denominado emisor. Al superar este valor umbral, la superficie libre del líquido en la punta del emisor adopta la forma de un cono, denominado cono de Taylor. En la configuración más habitual, desde el vértice del cono se expele un microchorro o jet, el cual, debido a la inestabilidad de Rayleigh, se rompe generando el spray de gotas cargadas. El tamaño de las gotas que forman el electrospray depende fundamentalmente de la viscosidad, la conductividad eléctrica y la tensión superficial del líquido. En particular, las gotas producidas son más pequeñas conforme aumenta la conductividad del líquido. Por esta razón, el método de atomización electrohidrodinámica adquiere interés práctico sólo en líquidos conductores. En la inmediata vecindad de la punta de emisión existe una región dominada por los efectos de la distribución de la carga espacial, la cual se denomina región de carga espacial. En dicha región, la repulsión electrostática mutua ejercida por las partículas domina sobre el campo eléctrico externo. Esto hace que las trayectorias seguidas por las gotas cargadas se separen rápidamente, haciendo que aumente considerablemente la anchura del spray emitido. Como consecuencia de esta rápida separación de las trayectorias, la densidad espacial de carga decae rápidamente a medida que aumenta la distancia a la punta, alcanzándose una región donde el campo externo domina sobre el campo debido a la distribución de carga espacial. La técnica de atomización electrohidrodinámica en líquidos conductores ofrece importantes aplicaciones prácticas, por ejemplo, en el recubrimiento de membranas con sustancias catalíticas, en propulsión espacial, en encapsulado de partículas, etc. En todas estas aplicaciones, resulta fundamental predecir de manera precisa la forma del electrospray emitido, así como la intensidad máxima de corriente que puede lograrse en régimen estacionario antes de que la distribución espacial de carga emitida bloquee el electrospray. En particular, es fundamental conocer con precisión cómo varía la anchura del electrospray emitido con la distancia a lo largo del eje, ya que ello permitirá optimizar el diseño de electrodos intermedios, conocidos como extractores. Los extractores suelen emplearse para dirigir axialmente las partículas cargadas, evitando su eventual retroceso hacia el emisor debido al campo generado por la carga espacial, permitiendo de esta forma aumentar la intensidad máxima emitida por el electrospray, así como empaquetar números relativamente altos de puntas emisoras en un espacio reducido. El objetivo de este trabajo es el análisis teórico de la distribución espacial de carga emitida por electrosprays en vacío y en régimen estacionario. La descripción matemática del sistema se realizará por medio de la aproximación del continuo. El trabajo se centrará en la descripción de distribuciones de carga monodispersas, esto es, todas las gotas emitidas son idénticas. El punto de partida del trabajo es el modelo Euleriano simplificado (SEM) propuesto por J. Fernández de la Mora en 2012 para la descripción de la distribución espacial de carga emitida en un electrospray en vacío, en aproximación estacionaria y axisimétrica. En este modelo se describe un electrospray monodisperso desde un punto de vista euleriano por medio de la aproximación del continuo. De esta forma, la descripción del electrospray se realiza en términos de tres campos: la densidad numérica de gotas, el campo de velocidades de las gotas y el potencial eléctrico, los cuales dependen sólo de dos coordenadas espaciales en un sistema de referencia fijo en el laboratorio. Asumiendo que todas las partículas parten con la misma velocidad del electrodo emisor, considerado éste como una superficie equipotencial, se encuentra que el campo de velocidades de las partículas es irrotacional y, por tanto, puede describirse por medio de un potencial de velocidad. De esta forma, la descripción completa del electrospray es posible por medio de sólo tres campos escalares: el citado potencial de velocidad, junto con la densidad numérica de partículas y el potencial eléctrico. Estos tres campos escalares están determinados por tres ecuaciones en derivadas parciales: la ecuación de conservación de la energía, la ecuación de Poisson y la ecuación de continuidad, las cuales proporcionan las ecuaciones fundamentales del modelo matemático. A pesar de la simplicidad que consiste en describir el sistema por medio de sólo tres campos escalares, el problema ofrece dificultades de índole matemático. En primer lugar, el citado sistema de ecuaciones en derivadas parciales no es susceptible de ser resuelto de manera analítica ya que incluye ecuaciones no lineales, lo que implica que la resolución matemática del sistema de ecuaciones debe realizarse numéricamente. En segundo lugar, otra dificultad que se plantea tiene su origen en las singularidades características de la geometría del cono de Taylor, en particular la existente en la inmediata vecindad del vértice del cono. Estas singularidades deben resolverse de forma analítica antes de iniciar la correspondiente integración numérica del sistema. El presente trabajo se centrará en la descripción de la distribución espacial de carga en una cierta vecindad del vértice del cono de Taylor donde los efectos de carga espacial son importantes y deben tenerse en cuenta. Esto motiva que el trabajo de esta tesis tenga tres partes diferenciadas: 1. Implementación de un método numérico que permita resolver el sistema de ecuaciones diferenciales del modelo matemático. 2. Resolución analítica de la singularidad que presenta la densidad de carga espacial en el vértice del cono, lo que permite obtener la forma asintótica de la solución cerca del vértice. 3. Aplicación de ambas estrategias con el fin de obtener una solución completa, válida, tanto en la inmediata vecindad del vértice del cono, como más lejos. La memoria de esta tesis se distribuye en ocho capítulos y cinco apéndices. En el primer capítulo se establecen los objetivos fundamentales del trabajo. En el capítulo segundo se trata el estado del arte y la descripción de la cuestión que se investiga en el trabajo. En el capítulo tercero se introduce el SEM y se formula matemáticamente el problema, con sus ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y condiciones de contorno. En el cuarto capítulo se implementa un algoritmo en diferencias finitas para la resolución numérica de las ecuaciones del SEM. En el quinto y sexto capítulo se estudia, dentro del SEM, la singularidad de la densidad de carga espacial cerca del vértice, lo que proporciona el comportamiento asintótico del electrospray en la inmediata vecindad del vértice. En el séptimo capítulo se aplica el algoritmo numérico del SEM en diferencias finitas, implementado y probado en el capítulo cuarto, para obtener el comportamiento del electrospray lejos del vértice. En el último capítulo se enumeran las principales contribuciones al problema investigado en este trabajo y las futuras líneas de investigación que pueden derivarse del estudio realizado. Finalmente, la memoria termina con cinco apéndices con cuestiones de índole matemático cuyo tratamiento puede separarse del texto principal. Códigos UNESCO de la tesis 220402 (Física, Física de Fluidos, Dispersiones) 220407 (Física, Física de Fluidos, Ionización) 120613 (Matemáticas, Análisis Numérico, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales)