Caracterización de soluciones de problemas de equilibrio vectoriales

Résumé

Los problemas de equilibrio fueron popularizados por Blum y Oettli en 1993. Su principal característica es que generalizan diversos problemas clásicos de gran interés como son los problemas de optimización, de desigualdades variacionales, de puntos de silla, de equilibrios de Nash o de punto fijo, entre otros. En 1997, distintos autores extendieron los problemas de equilibrio al caso vectorial y el estudio de sus soluciones es el tema objeto de esta tesis. En la literatura, pueden encontrarse diferentes conceptos de solución exacta dadas por un orden parcial generado por un cono convexo, y de solución aproximada dadas por un orden generalizado asociado a un conjunto arbitrario con determinadas propiedades como son los conjuntos de mejora, los conjuntos free-disposal o los conjuntos corradiantes. En el Capítulo 1, que está dedicado a la introducción y a los preliminares de la tesis, se detallan estos conceptos y las notaciones empleadas a lo largo de la memoria. En el Capítulo 2, se estudian las soluciones propias aproximadas de tipo Henig y de tipo Benson dadas por conjuntos corradiantes en un marco algebraico, obteniéndose condiciones necesarias y suficientes mediante escalarización lineal bajo ciertas hipótesis de convexidad. Por otro lado, se extiende el concepto de solución estricta para problemas de equilibrio vectoriales y se analizan sus propiedades. En el Capítulo 3, se realiza una reformulación algebraica del conocido funcional de separación no convexa (o de Gerstewitz) y se estudian sus propiedades sobre espacios vectoriales reales, extendiendo diversos resultados de la literatura. Posteriormente, ésta es aplicada para caracterizar las soluciones aproximadas de problemas de equilibrio vectoriales, obteniendo mejoras con respecto a otras caracterizaciones previas. En el Capítulo 4, se obtiene un resultado de tipo punto fijo estricto para funciones multivaluadas que sirve de herramienta matemática con múltiples aplicaciones. En concreto, se utiliza para derivar principios variacionales de Ekeland para bifunciones con valores vectoriales, tanto exactos como aproximados, que extienden y aportan mejoras a otros resultados del mismo tipo. Por otro lado, se obtienen teoremas de existencia de soluciones débiles exactas para problemas de equilibrio vectoriales de tipo Weierstrass a través de un nuevo concepto de semicontinuidad y técnicas de escalarización no lineal. En ambos tipos de resultados, se clarifican los roles de hipótesis que son comúnmente presentes como la desigualdad triangular asociada a un cono de orden o la diagonal nula de la bifunción. El Capítulo 5 cierra la memoria con las conclusiones y las futuras líneas de desarrollo directamente relacionadas o derivadas de esta tesis doctoral.