Geometría conforme y teoría de funciones

Abstract

El análisis complejo está relacionado con la geometría hiperbólica y con la teoría del potencial, En la memoria explotamos ambas relaciones. En la primera parte estudiamos el problema de Hayman y Wu que consiste en estimar la longitud de curvas de nivel de aplicaciones conformes. La conexión entre variable compleja y geometría hiperbólica nos permite encontrar la cota óptima para éste en dominios convexos, y también entenderlo en contextos más generales. En la segunda parte de la memoria usamos técnicas de teoría del potencial real para resolver el problema de Gabriel, el cual establece comparaciones entre integrales con peso (geométrico) sobre curvas encajadas. Con estas técnicas encontramos la expresión para la mejor constante de comparación y probamos que cierta conjetura de Gabriel no es cierta. Para finalizar la memoria consideramos de nuevo el problema de Hayman y Wu per en este contexto más general en el que admitimos pesos geométricos. También usando técnicas del potencial mostramos que no siempre tiene solución.