Triangle groups, dessins d'enfants and beauville surfaces

Resumo

La tesis trata dos temas diferenciados con el hilo conductor de los grupos fuchsianos triangulares: dessins d¿enfants y superficies de Beauville. Los dessins d¿enfants son un tipo de grafos introducidos por Grothendieck hace unos 30 años para representar curvas algebraicas definidas sobre el cuerpo de los números algebraicos. Aunque la teoría de dessins d¿enfants ha experimentado un gran desarrollo en los últimos años, hay, sin embargo, cuestiones fundamentales de las que se conoce todavía muy poco. Entre otras, determinar las condiciones bajo las cuales dos dessins d¿enfants diferentes pueden inducir la misma estructura de superficie de Riemann. Una superficie de Beauville es una superficie compleja rígida isomorfa al cociente del producto de dos superficies de Riemann hiperbólicas por la acción libre de un grupo finito. De su misma construcción emergen de manera natural preguntas como qué productos de superficies de Riemann, o al menos qué géneros, o qué grupos finitos, son susceptibles de ser usados para construir superficies de Beauville. Por otra parte su rigidez sugiere que estas superficies reproducirán a menudo el fenómeno descubierto por J-P Serre en un trabajo de 1964 en el que encuentra una superficie algebraica compleja con la propiedad de que su variedad conjugada mediante un cierto automorfismo del cuerpo de los números complejos no es homeomorfa a ella (a pesar de que por el teorema de Hodge y la teoría GAGA de Serre los números de Betti, e incluso la signatura, han de ser coincidentes). Las superficies de Beauville fueron introducidas en 2000 por Catanese, quien, junto con Bauer y Grunewald, estudió sus primeras propiedades y dio una lista de preguntas relativas a estas superficies que sería interesante contestar. En el ámbito de los dessins d'enfants, conseguimos la caracterización de las condiciones bajo las cuales dos dessins d¿enfants uniformes pueden inducir la misma estructura de superficie de Riemann. En este estudio resulta crucial el uso de métodos de la teoría de álgebras de cuaterniones para investigar los grupos fuchsianos aritméticos. Por otro lado, también damos una clasificación completa de dessins d¿enfants uniformes unicelulares de género 2 que tiene en cuenta la clase de isomorfía de las superficies de Riemann subyacentes (este tipo de clasificaciones está muy poco desarrollada en la literatura). El resultado más importante del segundo tema de esta tesis doctoral (superficies de Beauville) es la construcción de una familia de superficies algebraicas que poseen un número arbitrariamente grande de superficies conjugadas no homeomorfas dos a dos. También presentamos la teoría de Catanese et al. de superficies de Beauville desde el punto de vista de la uniformización y los grupos fuchsianos, obteniendo en el camino varios resultados originales.