Estudio analítico de Coupled Map Lattices débilmente acoplados

Resumen

Hay muchos sistemas cuyo comportamiento global depende tanto del comportamiento individual de cada elemento del sistema, como de la interacción entre todos ellos. Estos sistemas son tan variados que son muy difíciles de tratar. Una manera de resolver estos problemas es por medio de Coupled Map Lattice (CML), que consisten en un sistema de ecuaciones acopladas cuya variable de estado es continua pero las variables espacio-temporales son discretas. Los CML se utilizan para modelar sistemas en las más diversas ciencias: física, química, ingeniería, economía, sociología, biología, y son un tema de investigación actual en los que se han obtenido muchos e importantes resultados numéricos, entre otros, ondas viajeras, sincronización, estructuras (patterns), cascada de duplicación de periodo. La abundancia de resultados numéricos y la carencia de resultados teóricos nos han hecho plantearnos la descripción analítica de dichos fenómenos en un contexto general, sin estar limitados por funciones particulares, tipo de acoplamiento o el número de elementos constituyentes del sistema. Tal planteamiento lo abordaremos en esta tesis, para CML débilmente acoplados con tres características relevantes: La dinámica individual de cada elemento del sistema está gobernada por una función totalmente arbitraria, que cumpla ser de clase C2. El número de elementos del CML es arbitrario. El acoplamiento se ha estudiado tanto para primeros vecinos como para acoplamiento de campo medio. Este tratamiento general permite por un lado que se empleen las herramientas del análisis matemático sobre todos los resultados, allá donde el investigador lo necesite; y por otro, que los resultados sean útiles en todos los sistemas modelados por CML, independientemente de la ciencia subyacente (ciencias naturales, sociales o ingeniería). En particular, se ha probado la existencia, y se ha aportado la expresión analítica, de ondas viajeras, agrupaciones (clusters), formación de patterns, así como sus cascadas de duplicación de periodo: fenómenos que mayoritariamente aparecen en los trabajos numéricos con CML. Igualmente, se ha probado la existencia y obtenido la expresión analítica de ondas viajeras asociadas a la cascada de bifurcaciones saddle-node, un fenómeno ni observado numéricamente ni predicho teóricamente con anterioridad. There are many systems whose global behaviors depend on both individual behavior of the elements as the interaction among them. The understanding of such system is extraordinarily complicated, because there are no particular mathematical tools developed to study them. One way to confront this problem is by using Coupled Map Lattices (CML); a system of coupled equations whose spatial and temporal variables are discretized but state variable remains con-tinuous. CML are extensively studied and used in modeling an extraordinary variety of sciences; physics, chemistry, biology, engineering, economy, sociology. There are many and significant numerical results in CML; traveling waves, synchronization, patterns, period doubling cascades, but very few theoretical results. The abundance of numerical results and the lack of theoretical results led us to seek the analytical description of such phenomena in an overaU framework without the constraints of particular function, kind of coupling or number of components of the system. This approach is discussed in this thesis, for weakly coupling CML, with three remarkable characteristics: The individual dynamics of the elements of the CML are ruled by a totally arbitrary C2 function. The number of the elements of the CML is arbitrary. Coupling, among elements, has been studied both in the nearest neighbor and in the mean field approximations. This overall approach allows on one hand to use analytical tools where re-searchers need them and on the other hand results are useful for all CML irrespective of the underlying branch of science (natural sciences, social sciences or engineering). In particular, analytical results have been obtained and proved for traveling waves, pattern formation, clustering, and furthermore their respective period doubling cascades: phenomena mainly communicated in numerical works with CML. In the same way, the analytical expression for traveling ways associated with the saddle-node bifurcations cascade has been obtained and proved, a new phenomenon not numerically observed neither theoretically anticipated.