Optimización, differentiability and convexity in Banach spaces

Resumen

En esta tesis se tratan diversos temas enmarcados dentro del Análisis Funcional: buscar extensiones del teorema de compacidad débil de James donde se restringe el conjunto de funcionales que alcanzan su supremo; estudiar el concepto de operador spear y su relación con propiedades clásicas de espacios de Banach, analizar propiedades de los espacios de Hardy de series de Dirichlet vector-valuadas. Respecto a la metodología, la mayor parte de la tarea investigadora se ha basado en el estudio de libros y artículos relacionados con los tópicos a tratar con el fin de aprender técnicas y herramientas que pudiesen resultar útiles. Esto se ha combinado con participaciones en congresos y estancias de investigación en otras instituciones que han permitido interactuar con otros investigadores y especialistas en estas materias. La tesis consta de tres capítulos y un apéndice. En el capítulo 1 se estudian extensiones de resultados relacionados con el teorema de James donde las hipótesis se restringen a funcionales que satisfacen una cierta propiedad de separación. El resultado principal establece que, para un espacio de Banach X cuya bola dual sea débil* compacta por bloques convexos, si A y B son dos subconjuntos acotados, convexos y cerrados de X estrictamente separados tales que todo funcional con sup(x*, A) < inf(x*, B) alcanza su supremo en A y su ínfimo en B, entonces ambos conjuntos son débilmente compactos. En el capítulo 2 se lleva a cabo un estudio sistemático del concepto de operador spear inspirado en la teoría de espacios de Banach con índice numérico uno. Se desarrolla un nuevo enfoque basado en el uso de vectores y conjuntos spear que permite unificar resultados conocidos así como probar otros nuevos. Se introducen y analizan en profundidad tres nuevas clases de operadores (aDP, target y lush) proporcionando caracterizaciones y ejemplos en espacios concretos, así como aplicaciones al estudio de vectores spear en espacios de funciones lipschitzianas. El capítulo 3 se dedica a las series de Dirichlet con coeficientes en un espacio de Banach. La primera parte del capítulo se centra en el estudio de la transformada de Bohr como herramienta para establecer isomorfismos isométricos entre espacios de Hardy de series de Dirichlet, espacios de funciones Bochner integrables en el toro infinito-dimensional, espacios de operadores cono absolutamente sumantes y espacios de funciones holomorfas en infinitas variables. En la segunda parte se estima asintóticamente la mejor constante en la desigualdad que compara la p-norma y q-norma de un polinomio de Dirichlet en términos del grado. En el apéndice se describen resultados obtenidos en relación a otros temas también abordados: índices y cuantificación de propiedades de espacios de Banach (RNP y existencia de copias de c_0), ideales de Baire, análisis de funciones en el cubo Booleano y operaciones con conjuntos SCD en espacios de Banach.